Engenharia Física

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Física

Pêndulo Duplo

By renanxyz #física, #lagrange, #pêndulo

Equações de Movimento e de Lagrange

Para o pêndulo duplo mostrado na figura, as barras de ligações 1 e 2 (barras OA e BC) são homogêneas e têm os comprimentos OA = L_1 = L = 1 m, AB = L_2 = L = 1 e as massas m_{OA} = m_1 = m = 1 kg, o m_{AB} = m_2 = m = 1 kg. Em O e A há pinos nas juntas. Os centros de massa das ligações 1 e 2 são C_1 e C_2. Localize e resolva as Equações de Lagrange e de movimento se o duplo pêndulo é liberado a partir do repouso quando os ângulos dos elos 1 e 2 em relação a vertical são \frac{\pi}{18} e \frac{\pi}{6}.

Solução:

Para caracterizar a configuração do sistema, são empregados duas coordenadas generalizadas {\theta_1} (t) e {\theta_1}(t). A coordenada {\theta_1} é a medida do ângulo em radianos do entre o eixo vertical e o elo 1 e {\theta_2}(t) é a medida do ângulo de rotação em radianos entre o elo 2 e a direção vertical. O vetor de posição de vetor de velocidade do centro de massa de C_1 do elo 1 pode ser escrito como

(1)   \begin{equation*} {\bf r}_{C_1}=\frac{1}{2}L sen (\theta_1) {\bf i} + \frac{1}{2}L cos (\theta_1) {\bf j} \end{equation*}

 

(2)   \begin{equation*} {\bf v}_{C_1}= \frac{d{\bf r}_{C_1}}{dt} = {{\bf \dot{r}}_{C_1}} = \frac{1}{2}L \dot{\theta_1} cos (\theta_1) {\bf i} - \frac{1}{2} \dot{\theta_1} sen(\theta_1) {\bf j} \end{equation*}

 

O vetor de posição de vetor de velocidade do centro de massa de C_2 do elo 2 pode ser escrito como

(3)   \begin{equation*} {\bf r}_{C_2}=\left[L sen(\theta_1) + \frac{1}{2}L sen (\theta_2)\right]{\bf i} + \left[L cos(\theta_1) + \frac{1}{2}L cos (\theta_2)\right] {\bf j} \end{equation*}

 

(4)   \begin{equation*} {\bf v}_{C_2}=\frac{d{\bf r}_{C_2}}{dt} = \left[L \dot{\theta_1} cos(\theta_1) + \frac{1}{2}L \dot{\theta_2} cos (\theta_2)\right]{\bf i} - \left[L \dot{\theta_1}sen(\theta_1) + \frac{1}{2}L \dot{\theta_2} sen (\theta_2)\right] {\bf j} \end{equation*}

 

As energias cinéticas da ligações 1 e 2 são

(5)   \begin{equation*} K_1 = \frac{1}{2}I_{O}\dot{\theta_1}^2 = \frac{1}{2} \frac{m_{1} L^2}{3}\dot{\theta_1}^2 = \frac{mL^2}{6}\dot{\theta_1}^2 \end{equation*}

 

(6)   \begin{equation*} K_2 = \frac{1}{2}I_{C_2}\dot{\theta_2}^2 = \frac{1}{2} m_2 {\bf v}_{C_2} \cdot {\bf v}_{C_2} \end{equation*}

 

(7)   \begin{equation*} K_2 = \frac{1}{2} \frac{mL^2}{12}\dot{\theta_2}^2 + \frac{1}{2}m \left[L^2\dot{\theta_1}^2 + \frac{1}{4}L^2\dot{\theta_2}^2 + L^2\dot{\theta_1} \dot{\theta_2} cos(\theta_2 - \theta_1)\right] \end{equation*}

onde I_O é o momento de inércia em torno do centro de rotação de O, e I_{C_2} é o momento de inércia em torno do centro de massa {C_2}

 

A energia cinética total do sistema é

(8)   \begin{equation*} K = K_1 + K_2 = \frac{mL^2}{6}[4 \dot{\theta_1}^2 + 3 \dot{\theta_1}\dot{\theta_2} cos(\theta_2 - \theta_1) + \dot{\theta_2}^2] \end{equation*}

 

O lado esquerdo da equação de Lagrange é

(9)   \begin{equation*} \frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_1}} = \frac{mL^2}{6}[8 \dot{\theta_1} + 3 \dot{\theta_2} cos(\theta_2 - \theta_1)] \end{equation*}

 

(10)   \begin{equation*} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_1}}\right) = \frac{mL^2}{6}[8 \ddot{\theta_1} + 3 \ddot{\theta_2} cos(\theta_2 - \theta_1) - 3 \dot{\theta_2}(\dot{\theta_2} - \dot{\theta_1}) sen(\theta_2 - \theta_1) ] \end{equation*}

 

(11)   \begin{equation*} (\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_1}} = \frac{mL^2}{2}\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}sen(\theta_2 - \theta_1) \end{equation*}

 

(12)   \begin{equation*} \frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_2}} = \frac{mL^2}{6}[3 \dot{\theta_1} cos(\theta_2 - \theta_1) + 2 \dot{\theta_1}] \end{equation*}

 

(13)   \begin{equation*} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_2}}\right) = \frac{mL^2}{6}[3 \ddot{\theta_1}cos(\theta_2 - \theta_1) - 3 \dot{\theta_1} (\dot{\theta_2} - \dot{\theta_1}) sen(\theta_2 - \theta_1) +2 \ddot{\theta_2}] \end{equation*}

 

(14)   \begin{equation*} \frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_2}} = -\frac{mL^2}{2}\dot{\theta_1}\dot{\theta_2}sen(\theta_2 - \theta_1) \end{equation*}

 

As forças gravitacionais sobre as ligações 1 e 2 no centros de massa C_1 e C_2 são

(15)   \begin{equation*} {\bf G}_1 = m_1 g {\bf j} \;\; e \;\; {\bf G}_1 = m_2 g {\bf j} \end{equation*}

 

Existem duas forças generalizadas associadas a {\theta_1} e {\theta_2} são

(16)   \begin{eqnarray*} F_1 &=& {\bf G}_1 \cdot \frac{\partial{\bf r}_{C_1}}{\partial \theta_1} + {\bf G}_2 \cdot \frac{\partial{\bf r}_{C_2}}{\partial \theta_1}\\ &=& mg {\bf j} \cdot \left[\frac{1}{2}L cos(\theta_1) {\bf i} - \frac{1}{2}L sen (\theta_1) {\bf i} \right]+ \;\;\;\;\;\;\;\;\ \\ &+& mg {\bf j} \cdot [L cos(\theta_1) {\bf i} - L sen (\theta_1) {\bf i}]\\ &=& -\frac{3}{2}mg L sen(\theta_1) \end{eqnarray*}

 

(17)   \begin{eqnarray*} F_2 &=& {\bf G}_1 \cdot \frac{\partial{\bf r}_{C_1}}{\partial \theta_2} + {\bf G}_2 \cdot \frac{\partial{\bf r}_{C_2}}{\partial \theta_2}\\ &=& mg {\bf j}\cdot 0 + mg {\bf j} \cdot \left[\frac{1}{2}L cos(\theta_2) {\bf i} - \frac{1}{2}L sen (\theta_2) {\bf i} \right]\\ &=& -\frac{1}{2}mg L sen(\theta_2) \end{eqnarray*}

 

As equações de Lagrange são escritas como

 

(18)   \begin{equation*} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_1}}\right) - \frac{\partial K}{{\partial \theta_1}} = F_1 \end{equation*}

 

(19)   \begin{equation*} \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial K}{\partial \dot{\theta_2}}\right) - \frac{\partial K}{{\partial \theta_2}} = F_2 \end{equation*}

e as equações de movimento pode ser escrita como

 

(20)   \begin{eqnarray*} \frac{4}{3}mL^2\ddot{\theta_1}+ \frac{1}{2}L^2 \ddot{\theta_2} cos(\theta_2 - \theta_1) - \frac{1}{2}m L^2 \dot{\theta_2}sen(\theta_2 - \theta_1)+ \frac{3}{2}mg L sen \dot{\theta_1}=0\\ \frac{1}{2}mL^2\ddot{\theta_1}cos(\theta_2 - \theta_1) + \frac{1}{3}L^2 \ddot{\theta_2} + \frac{1}{2}m L^2 \dot{\theta_1}sen(\theta_2 - \theta_1)+ \frac{1}{2}mg L sen \dot{\theta_2}=0 \end{eqnarray*}

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